北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 (1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即2 2 2 cba=+ (2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法„&
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北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 (1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即2 2 2 cba=+ (2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法„„(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法) (3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c有关系2 2 2 cba=+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 cba=+的三个正整数,称为勾股数。 常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)„„ 4、 勾股数的规律: (1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数, 两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a<b时,如果b+c=a2, 那么a,b,c 就是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)„„ (2)大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:2n,n2-1,n2+1 如: (6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)„„ 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001„等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。 3、倒数 如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2 =a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。 表示方法:记作“a”,读作根号a。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2 =a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a 的平方根记做“a± ”,读作“正、负根号a”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。 0³a 注意a的双重非负性: a³0 3、立方根 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3 =a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三 次方根)。 表示方法:记作3a 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33aa-=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a、b是实数, ,0baba>Û>- ,0baba=Û=- baba<Û<-0 (3)求商比较法:设a、b 是两正实数,;1;1; 1bab a babababa <Û<=Û=>Û> (4)绝对值比较法:设a、b 是两负实数,则baba<Û>。 (5)平方法:设a、b是两负实数,则baba<Û>2 2。 五、算术平方根有关计算(二次根式) 1 、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。 2、性质: (1 ))0()(2 ³=aaa )0(³aa (2 )==aa2 )0(<-aa (3))0,0(³³·=babaab ()0,0(³³=·baabba) (4) )0,0(>³=bab a ba ()0,0(>³= bab a b a) 3、运算结果若含有“a”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算 (1)六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方 (2)实数的运算顺序 先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 (3)运算律 加法交换律 abba+=+ 加法结合律 )()(cbacba++=++ 乘法交换律 baab= 乘法结合律 )()(bcacab= 乘法对加法的分配律 acabcba+=+)( 第三章 位置的确定 一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当ba¹时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 (1)、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>Ûyx 点P(x,y)在第二象限0,0><Ûyx 点P(x,y)在第三象限0,0<<Ûyx 点P(x,y)在第四象限0,0<>Ûyx (2)、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上0=Ûy,x为任意实数 点P(x,y)在y轴上0=Ûx,y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上Ûx,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点 (3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上Ûx与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ûx与y互为相反数 (4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 (5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称Û横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) 点P与点p’关于y轴对称Û纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y) 点P与点p’关于原点对称Û横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) (6)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y) 到原点的距离等于22yx+ 三、坐标变化与图形变化的规律: 坐标( x , y )的变化 图形的变化 x × a或 y × a 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a倍 x × a, y × a 放大(缩小)为原来的 a倍 x ×( -1)或 y ×( -1) 关于 y 轴或 x 轴对称 x ×( -1), y ×( -1) 关于原点成中心对称 x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位 x +a, y+ a 沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单
更新时间:2018-11-26 18:59