傅里叶分析(国力交通大学)

时间：2018-03-28 13:45:07 由 bw 分享

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绝大多数人对于傅里叶分析都很陌生，其实傅里叶分析是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。另外如果您仔细观看我们为您收录的这部由国立交通大学名师主讲的精品傅里叶分析教程您会学到更多知识的。

法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动
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法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。

由三角函数系{cos nx,sin nx｝ (n=0,1,2,…)组成的无穷级数称为三角级数,其中αn,bn为系数，与x无关。若级数(1)对于一切x收敛，它的和记为ƒ(x)：则ƒ(x)是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cos nx或sin nx，并且在(0,2π)上同时积分，就得到公式上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性,应当对级数(1)的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果ƒ(x)是一个给定的以2π为周期的周期函数,通过(3)可以得到一列系数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数(1)。这样得到的三角级数(1)是否表示ƒ(x)?正是傅里叶,他首先认为这样得到的级数(1)可以表示ƒ(x)。

给定ƒ(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为ƒ的傅里叶级数,而称(3)为ƒ的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,(n=0,±1，±2,…)是[0,2π]上的规范正交函数系，函数ƒ关于它的傅里叶级数为称为ƒ 的傅里叶级数的复形式。

傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“ƒ的傅里叶级数究竟是否收敛于 ƒ自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数ƒ(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数ƒ的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于ƒ(x);如果ƒ在x点不连续，则级数的和是(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。

(G.F.)B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定ƒ的傅里叶系数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数ƒ(x)在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时ƒ 的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数ƒ的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于ƒ(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数ƒ(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.(F.P.)康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。

K.(T.W.)外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。

更新时间：2013-11-19 11:10