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在数学的发展过程中曾遇到过3次危机。
第一次危机 第一次是公元前5世
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在数学的发展过程中曾遇到过3次危机。
第一次危机 第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。
第二次危机 17世纪后半期I.牛顿，G.W.莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。数理逻辑是数学基础的重要内容。
第三次危机 数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。按照集合论的概括原则(构成集合的原则)，S应该是一个集合。现在问S是否是S的一个元素?如果S∈S，则按照S的定义应有SS;如果SS，则按S的定义又应有S∈S。无论哪种情况都导致矛盾。罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
集合论中包含矛盾这个事实，实际上稍早以前就已发现。朴素集合论的创始人G.康托尔，1895年就发现了“最大序数悖论”(所有序数的集合有更大序数);1899年他又发现“最大基数悖论”(所有集合的集合有最大基数，但由这个集合的一切子集构成的集合有更大的基数)。对于这两个悖论当时人们也感到吃惊，但认为这是集合论中的一些技术性问题，只要作一些技术改进就可消除，因此没有引起人们的极大关注。
三次数学危机的发生是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力。这些努力促进了数学的发展，特别是促进了数学基础的研究。其中第三次危机对数学的影响更大。人们公认集合论是数学的基础，在数学中有着广泛的应用，任何一门数学都离不开它。非欧几何学的和谐性归结为欧几里得几何学的和谐性;欧几里得几何学的和谐性又归结为实数系统的和谐性;而实数系统的和谐最终归结为集合论的和谐性。但集合论是有矛盾的。第三次数学危机开始时，很多数学家对集合论的改造持旁观态度，认为可由逻辑学家去讨论。后来发现这样行不通，因为在数学论证中每人必须采用某一派的观点，无法回避。
更新时间：2014-03-07 18:47
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